記事の内容
ゲーデルの不完全性定理について、私は数冊本を読んでいる。今回は、とある一冊の内容をまとめたい。
「不完全性定理」に興味がある人におすすめな記事になる。
今回紹介する本は、野崎昭弘氏の「不完全性定理 数学的体系のあゆみ」だ。
タイトルの通り、不完全性定理の証明よりも、「数学的体系のあゆみ」についてわかりやすくまとめられている。
不完全性定理だけではなく、数学一般についてきになる人はぜひ読んでみてほしい。興味さえあれば、高校生でも読めると思う！！！
まずはこちらの記事を
個人的に、「不完全性定理」については色々と気になり勉強を続けてきた。
私のように、不完全性定理に興味がある人はまずは次の記事を読んでみてほしい。こちらで、定理のイメージとおすすめ本を紹介している。
数学的体系と超数学
「超数学」という営みの本質をもう一度確認しやすい。
超数学とは、「数学についての数学」だ。
数学は絶対に安全・確実と言えるのか？？？という動機の元、始まった。
超数学が誕生するまでの数学の歴史を描いている。
体系とはなにか？
公理系とはなにか？
モデルとはなにか？
これらの歴史を見ることで、改めて数学における体系の本質を確認できる。
そして、集合論、証明の形式化へと話が進み、超数学の目標・方法・土台がまとめられる。
「不完全性定理の証明」ではなく、「数学的体系のあゆみ」から不完全性定理を読み解く。これが、本書の特徴だ。
だから、
・不完全性定理の誤解しやすいところ
・なぜ誤解してしまうのか
・不完全性定理の用語のイメージ
などの点がよりわかりやすい。なぜならば、それら日常には馴染みのない概念の土台をまずは整理してくれるからだ。それが、超数学についての整理である。
よって、超数学と今相手にしている形式的体系との距離をイメージしやすくなる。この境界線の混乱が、初学者が不完全性定理の理解を困難にしていると思う。
続いて、本書のうちから何点かまとめる。これは、私の個人的なメモなので、不完全性定理の証明に触れたことがない人にとっては、意味不明だと思う。ほとんどの人には、あまり役に立たない記事になってしまう。ごめんなさい。
たくさんある「完全」の意味
完全性定理のイメージから始まる。
数学的体系は、論理公理系と数学的公理系に推論規則を合わせたイメージだ。
超数学は、無矛盾性や完全性の分析を基礎から始めたい。そこで、
「論理公理系と推論規則からなる論理体系」に注目する。
論理体系の完全性により、
「恒真文である」ことと「証明できる」が同値になる。
さらに、一般化できる。
すべてのモデルで正しい論理式は、証明できる
これを、ゲーデルの不完全性定理の完全性と区別するために、内容的な完全性と呼んでいる。
何が不完全？
一方、ゲーデルの不完全性定理の方の完全性の意味はこうだ。
形式的完全性
任意の閉じた論理式Pについて、Pそれ自身か、その否定-Pかのどちらかが、必ず証明できる。
また、Zが無矛盾であれば、「Gは証明できない」と解釈できる文Gは、事実証明できないのだから、たしかにある解釈のもとで正しい。
Zが無矛盾ならば、正しいのに証明できない論理式がある
「正しい」という内容的な表現は、避けるべきだったはず。しかし、ここでは、「ある解釈の元もとで」という限定がついているのでおっけー。
第二不完全性定理
「Zが無矛盾であること」ことを表現している論理式を、Zの中で書いてみせることができる。
そしてそれは、体系Zが無矛盾のとき、体系Zの中では証明できない。
しかし、これは直接、有限の立場において無矛盾性の証明は絶対できない、と言っているわけではない。
わかるのは、
有限の立場であろうとなかろうと、体系Zの中では表現できないような論法を使わないと、Zの無矛盾性の証明はできない、こと。
定理から次のように導ける。
Zがもし無矛盾ならば、Zの不完全性をZの中で証明することはできない
有限の立場とはもともと、形式的体系について議論するための、「体系外の立場」であって、最初から形式的体系の枠外にはみ出ている部分がある。
つまり、数学の正しさを、数学的な問題として取り上げようという「超数学」までトドメを刺されたわけではない。
より詳しくは、ぜひ本書を読んでみてほしい。
興味さえあれば、高校生でも読めると思う！！
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