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〈現実〉とは何か 私たちの常識を覆す「数学=現実」な普遍構造とは?(圏論の応用)

記事の内容

今回は、知的にとんでもなくエキサイティングなある本を紹介します。『現実とはなにか』という本です。

 

私たちが生きるこの現実を徹底的に見つめることで、現実の根本的な成り立ちを分析します。

そこでは、量子論や数学、そして、現象学に共通するとある構造が浮かび上がってきます。その普遍的な構造を表現するための概念として、数学の圏論が役に立ってきます。

 

この本で議論されるテーマは、現実に関する常識を破壊してくれるものです。それは、とても新鮮な見方でありつつも、どこか身近で納得感のあるものとなっています。

 

今回の記事では、本書から中心的なテーマをまとめさせてもらいます。目次をみて興味がわいた方は、ぜひ読んでみてください。

 

 

 

 

〈現実〉とは何か ─数学・哲学から始まる世界像の転換

 

 

 

「現われの学」としての現象学と、「同じさの数学」としての圏論がひとつになる。思考と生、その両方に関わる根本原理を追究した画期的試論。

 

第1章 実体から不定元へ―「量子場」概念の根本的再考(「場」とは何か―二重スリットの実験から
粒子も場も実体ではない―真に現われているものへ ほか)
第2章 「数学」とは何をすることなのか―非規準的選択(数学における非規準的選択
非規準的選択と普遍性 ほか)
第3章 「現われること」の理論―現象学と圏論(現象学における「変わらないもの」
圏から「同じもの」へ ほか)
第4章 置き換え可能性から自由へ―現実論のポテンシャル(再び置き換え可能性をめぐって
「私」―「自己」の問題 ほか)
第5章 “自由”から現実を捉えなおす―決定論から非可換確率論へ(決定論を吟味する
因果のなかでの自由―現実の一般構造 ほか)

 

 

本書から、ベーシックとなる部分をまとめさせてもらう。まとめメモのような書き方になってしまう。だから、この記事だけで理解に至るのは難しいと思う。

 

本書を買うか迷っている方には雰囲気を掴んでもらうために、すでに読んでいる人はまとめメモのように使ってもらえたなら嬉しい。

 

とくに、各テーマについて、思考の出発点となる問いに注目している。こうした問いに共感することが、議論を実感することにつながると思う。

 

 

 

 

粒子も場も実体ではない

 

・物理学はどのように常識を変えたのか?

・物理学の底にある根本的な不明瞭さとは?

・「場」とは実体なのか?

・「物」ではないものが「ある」とはどういうことか?

・そもそも「物」とは何か?

 

 

「物」より普遍的な何かがある。ただし、実体論の方向に行ってはいけない。

 

粒子か場が実体であるという見方は、「現象に即す」という態度と両立しない。「場が粒子になる」という現れを徹底的に考えることこそ、現象に即している。

 

決定論的で同一的なものが現実だという形而上学を捨てる。このことが、現代量子論がもたらした転換だった。

 

 

 

 

 

 

法則とは何か? 問いがなければ答えはない

 

・現代量子論の観点から見れば、科学における「法則」という概念が危うくなるのでは?

 

法則というのは、「二度と繰り返すことのできない」出来事間の関係である。ここに、異なるものを同じものとしてみる「置き換え」がある。

 

 

・法則を成り立たせる根拠は、その法則の中に書き込まれているのだろうか?

・法則というのは、最初から自然に存在しているものなのではないのか?

 

「こうすればこうなる」という形で、条件と法則は一体になっている。自然は、何らかの問いかけに対してのみ答えを与えてくれる。法則を生み出す根拠は、法則の中では書ききれない。ここに、2重「書ききれないこと」がある。法則が決まってもどの選択肢が実現するかは分からない。どの条件を用意するか、法則には書ききれない。

 

結果が欲しければ、私たちの手で条件を選ぶ必要がある。そして、どの条件を選ぶべきかを指定する法則なんてものはない。

 

つまり、私たちの問いがあって法則がある。問いがなければ答えはない。

 

 

 

 

 

 

現実=数学になる理由

 

場は不定だが、一定の仕方で問いかければ答えてくれる。粒子にならないと私たちにとっては答えにならない。つまり、状態や実体を考えるのではなく、ここで見逃してはならないのは、「粒子になる」という出来事である。

 

「それ自体としてつかめない」ということこそ、自然そのものの本来的な現われ方なのだ!

 

 

・現れているのにつかめない、なんてありえるの?

 

「場が粒子になる」という結果からは、「現れているがつかめない、つかめないが現れている」という出来事が自然そのものの核心である、と導ける。

 

 

・数学における不定元って?

「値を取る」というということをあらかじめ仮定せずに厳密な議論ができるという考え方。数学は確定した体系なのではと思ってしまうが、数学とは本質的に「不定」を抱えている。

 

 

・結局、現実てなんなの?

 

現実とは不定元である。

 

場とは、自然の認識における数学の「不定元」であるのではないか。現実がまさに不定元として現れてくる。こうして、数学と現実の壁は消える。

 

 

 

 

 

 

非規準的選択

 

「確定できそうで確定できない」

数学者が現に行っているのに、数学的には確定できないような選択がある。

 

数学らしさである普遍性は、この非規準的選択を通してしか成立しない。

 

普遍性に至るためには、まず何かあるものを選択することから始めて、その選択を自ら消去するというプロセスが欠かせない。

 

選ぶことにおいてのみ、どちらでもよいことがわかり、それが分かった時には、最初に「どちらを選んだか」は特別な性格を失う。

 

 

 

 

 

 

一般構造

 

多様な表現を通して「同じこと」をつかむ。

 

1+1=2という本質を表すために、その表現は10進数や2進数、その他の表現でもかまわない。

 

なんらかの記号的な表現によって出発するしかないのだが、その活動の中で、この特定の表現は置き換え可能になる。ここに数学自体が「生きたもの」として成立している。

 

置き換え可能であること自体が、非規準的なものを「消す」という積極的な動的な働きとして成り立っている。

 

この構造こそ、数学だけでなく、空間や時間といったより普遍的なものの根底にあるのではないか。

 

 

 

 

 

 

現象論

 

フッサール「神でさえ物全ての面を同時に見ることはできない」

 

現れから切り離された「物そのもの」はない。

物は、現れの変化の中に初めて見えてくる。

 

「変化」こそが「同じもの」を成り立たせる。

 

現れの変化が織りなすシステムをつかんだとき、われわれは「同一のもの」をつかんだと思うのである。

 

 

 

 

 

 

「同じもの」とは?圏から定義し直す

 

「動き」「変化」を矢印のように見立て、そのネットワークを考えるのが圏論だ。

 

その矢印をという。

 

現れ・・・対象

現れの変化・・・射

 

・圏論における同型

「不可逆性を通じて現れる可逆性」

不可逆性をもとにして、その特殊例として可逆性を考えることができる。行って戻れる可逆な矢印があることが同型だが、本質的な同じさを示している。

 

・「同じもの」の正体

人間が「同じもの」をとらえているとき、いつも「多様な現れの間のプロセスの可逆性」という現象が起こっている。サイコロにおいて、同じ目は、何度も振ってみないと確認できない。「異」な多様な現れの中に「同」が現れ出てくるわけだ。

 

 

 

圏論については、この記事だけで数学的な基礎を説明するのは難しい。あくまでも、雰囲気を知ってもらえればうれしい。圏論そのものの基礎が気になる方は、次の記事がおすすめだ。

www.buchinuku.work

 

 

 

 

 

「2」や「3」の正体とは?

 

数学とは、難しい問題を「本質的に同じ」易しい問題に言い換えていくことでもある。

 

同型、無数のものの間に見られるネットワークこそが、「2」と名付けられているものの正体である。

だから、「=」の由来は「ネットワークのネットワーク」である、といえる。

 

無数のもののネットワークと、無数のもののネットワークが、さらにネットワークを成す、という目も眩むような関係性の「かたち」が、2+3=5という単純な形に集約されているのである。

 

「=」とは、ネットワークとネットワークの間を自由に行き来することが可能になるイメージだ。

 

 

 

 

 

 

「現れること」の理論の根本にある自然変換

 

自然変換という概念を定義するために、圏論は準備された。圏と圏の間のある関係が関手であり、理解や翻訳、モデル化のようなものだ。そして、異なる「理解」や「翻訳」間の橋渡し、のようなものが自然変換だ。

 

 

関手とは、まさに圏が圏に現れる、その「現われ」である。そして、その「現われの変化(動き・プロセス)」が自然変換ということになる。

 

 

「現れの変化」こそが、実は存在論的には「最初」にくるものではないか。変化、動き、プロセス、媒介こそ、根本なのでは!!!

 

 

「現われ」について考えていくうちにその現われが変化していく、その流れにおいて「同じさ」が現れてくるのである。これこそ、自然変換を通じて関手間の「同じさ」が現れてくる、という数学的構造を手がかりとしてわれわれが照らし出そうとしてきた構造=出来事にほかならない。

 

 

 

自然変換を通じて、関手間の「同じさ」が現れてくる。個々の現れによることなくしてはとらえられないが、また個々の現れに固着することによっても捉えられない。

 

真理は個々のものを解放しながら生かしていくような「変換」そのもののうちにあるのではないか。

 

個々のものをおろそかにしない、かつ、個々のものにこだわったら成り立たない。

 

 

 

 

 

自然変換と「私」

 

個であることが普遍的な性格をもつ。

 

私であるということは交換不可能だが、誰もがこうした意味での「私」である。

 

「私」というのはある種の自然変換。つねにある個体的で具体的な関手の実現に即してしかありえない。

 

自らが置き換え不可能であるということそれ自体の置き換え可能性が、「私」である。

 

 

 

 

 

まとめ

 

本書は、こうした現実観、つまり自然変換としての構造を示してくれる。

 

そして、繰り返し強調しているのが、「個々のものをおろそかにしない、かつ、個々のものにこだわったら成り立たない」という概念だ。

 

ここが腑に落ちるかどうか、が本書の評価を決めると思う。哲学や、圏論、東洋思想に造詣がある方は、とても腑に落ちる話だとおもう。

 

本書では、さらにこうした現実観から、「自由」という概念の再定義に進んでいく。この議論もとても刺激的である。ぜひ気になる方は、実際に本書へと進んでみてほしい。

 

 

 

圏論についてより興味がわいた方は、まずは以下のような入門者向けの本へとすすんで見るのがいいと思う。

 

 

 

 

 

 

 

 

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